Aire entre deux courbes et intégration par parties — niveau intermédiaire

Exercice 3

On considère les fonctions f et h définies sur $[0;1]$ par :

$f(x)=x\times e^x$ et $h(x)=e^x$.

1. Montrer que $f(x)\le h(x)$ pour tout $x\in [0;1]$.
2. Calculer $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\times e^{x}dx$ en utilisant une intégration par parties.
3. Calculer $K=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$.
4. En déduire l'aire A de la région du plan délimitée par les courbes représentatives de f et h sur $[0;1]$, en unités d'aire.