Intégration par parties et calcul d'aire — Bac France 2024

Exercice 3

On considère la fonction f définie sur $[0;1]$ par $f(x)=(2x+1)e^x$.

1. Calculer l'intégrale $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(2x+1)e^{x}dx$ en utilisant une intégration par parties.
2. Vérifier que la fonction F définie par $F(x)=(2x-1)e^x$ est une primitive de f sur $\mathbb{R}$, puis retrouver le résultat de la question 1.
3. La courbe représentative de f est-elle au-dessus de l'axe des abscisses sur $[0;1]$ ? Interpréter géométriquement la valeur de I.