Intégration par parties itérée et suite — niveau difficile

Exercice 5

Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite ($I_n$) par :

$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n\times e^{x}dx$.

1. Calculer $I_0$ et $I_1$.
2. Montrer que pour tout entier $n\ge 1$ : $I_n=e-n\times I_{n-1}$. (On utilisera une intégration par parties.)
3. Calculer $I_2$ et $I_3$.
4. Montrer par récurrence que pour tout entier $n\ge 0$ : $I_n>0$.
5. Montrer que la suite ($I_n$) est décroissante pour $n\ge 0$. En déduire la limite de $I_n$ quand $n\to +\infty$, en justifiant soigneusement.