دراسة دالة وحساب مساحة بين منحنيين

التمرين 3 — دراسة دالة ومساحة بين منحنيين

نعتبر الدالتين f و g المعرفتين على $]0;+\infty [$ بما يلي:
$f(x)=x-\ln (x)$    و    $g(x)=1$.

1. دراسة الدالة f :

   1. احسب $f^{\prime }(x)$ وادرس إشارتها على $]0;+\infty [$.
   2. ضع جدول تغيرات الدالة f على $]0;+\infty [$. حدد القيمة الدنيا للدالة f.
   3. بين أن $f(x)\ge 1$ لكل $x\in ]0;+\infty [$, أي أن $f(x)\ge g(x)$.

2. تقاطع المنحنيين :
   بين أن المنحنيين الممثلين للدالتين f و g يتقاطعان في نقطة وحيدة A، يجب تحديد إحداثياتها.

3. حساب المساحة :
   نرمز بـ D إلى الحيز المحصور بين منحنيي الدالتين f و g على المجال $[1/e;e]$.

   1. حدد إشارة $f(x)-g(x)$ على $[1/e;e]$ بتمييز المجالات الجزئية المناسبة.
   2. احسب المساحة A للحيز D. نذكر أن $\int$ من a إلى b لـ $\ln (x)$ dx = $[x\times \ln (x)-x]$ من a إلى b.