Calcul de I = ln 2 par découpage d'intégrale

نص التمرين

لتكن $f$ دالة متصلة على $[0,1]$ معرفة بـ $f(x)=\frac{x-1}{\ln x}$ على $]0,1[$، $f(0)=0$، $f(1)=1$. نضع $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$ و، من أجل $x\in ]0,1[$ : $I(x)=\underset{x}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$.

1. بين أنه من أجل كل $x\in ]0,1[$ : $0\le I-I(x)\le x$.

2. بمعرفة أن $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }I(x)=\ln 2$، استنتج قيمة $I$.