من أجل n ∈ N ، نضع S n = k = 0 ∑ n k + 1 ( − 1 ) k . بيّن أنه من أجل كل t ∈ R ∖ { − 1 } : k = 0 ∑ n ( − 1 ) k t k = 1 + t 1 + 1 + t ( − 1 ) n t n + 1 . استنتج أنه من أجل كل n ∈ N : S n = ln 2 + ( − 1 ) n 0 ∫ 1 1 + t t n + 1 d t . بيّن أن n → + ∞ lim S n = ln 2 .

Somme alternée et convergence vers ln 2

Difficile

Énoncé

من أجل $n \in N$ ، نضع $S_{n} = k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k + 1}$ .

بيّن أنه من أجل كل $t \in R ∖ {- 1}$ : $k = 0 \sum n (- 1)^{k} t^{k} = \frac{1}{1 + t} + \frac{( - 1 ) ^{n} t ^{n + 1}}{1 + t}$ .
استنتج أنه من أجل كل $n \in N$ : $S_{n} = ln 2 + (- 1)^{n} 0 \int 1 \frac{t ^{n + 1}}{1 + t} d t$ .
بيّن أن $n \to + \infty lim S_{n} = ln 2$ .

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، تعرف على مجموع هندسي أساسه $-t$ واستعمل الصيغة $\displaystyle\sum_{k=0}^n q^k = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2، كامل المساواة المحصل عليها في السؤال 1 حدا حدا بين $0$ و $1$، مع التعرف على $\ln(1+t)$ كدالة أصلية لـ $\dfrac{1}{1+t}$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 3، أوجد حدا أعلى لـ $\left|\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t^{n+1}}{1+t}dt\right|$ باستعمال $\dfrac{1}{1+t} \le 1$، ثم طبق مبرهنة التقارب المحصور.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

بالنسبة للسؤال 1، تعرف على مجموع هندسي أساسه $- t$ واستعمل الصيغة $k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .

بالنسبة للسؤال 2، كامل المساواة المحصل عليها في السؤال 1 حدا حدا بين $0$ و $1$ ، مع التعرف على $ln (1 + t)$ كدالة أصلية لـ $\frac{1}{1 + t}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Suite récurrente d'intégrales et limite associée كل تمارين الدرس Suite d'intégrales : monotonie, récurrence et encadrement

Somme alternée et convergence vers ln 2

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Somme alternée et convergence vers ln 2

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯