Suite auxiliaire divergente associée à une même récurrence

نأخذ المتتالية $u_n=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x(1-\ln x{)}^{n}dx$ التي تحقق $u_{n+1}=-\frac{1}{2}+\frac{n+1}{2}{u}_n$ و $\lim u_n=0$. لتكن $(v_n{)}_{n\ge 1}$ متتالية بحيث لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $v_{n+1}=-\frac{1}{2}+\frac{n+1}{2}{v}_n$، مع $v_1\ne u_1$.

1. بين أنه لكل $n\ge 1$ : $|v_n-u_n|=\frac{n!}{2^{n-1}}|v_1-u_1|$.

2. بين أن $\underset{n\to +\infty }{\lim }|v_n-u_n|=+\infty$، ثم استنتج أن $(v_n)$ متباعدة.