دراسة متتالية معرفة بتكامل (ترجع)

التمرين 4 — متتالية معرفة بتكامل

لكل عدد صحيح طبيعي n، نعرف المتتالية ($I_n$) بما يلي:

$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n\times e^{x}dx$

1. أحسب $I_0$ مع تبرير الحساب.
2. باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$ :

$I_n=e-n\times I_{n-1}$ (علاقة ترجعية، صالحة لـ $n\ge 1$).

3. أحسب $I_1$ و $I_2$ باستعمال العلاقة الترجعية.
4. أ) بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$، $I_n>0$.
   ب) بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$، $I_n\le \frac{e}{n+1}$.
   إرشاد: يمكن تأطير $e^x$ على المجال $[0;1]$.