بين أن e x ≥ 1 + x لكل x ∈ R ، مع تساوي في x = 0 . استنتج أن e x ≥ 1 + x + 2 x 2 لكل x ≥ 0 . استنتج أن x → + ∞ lim x n e x = + ∞ لكل عدد صحيح n ≥ 1 .

المتراجحات باستعمال المشتقة: eˣ ≥ 1+x وتطبيقاتها

Intermédiaire

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بين أن $e^{x} \geq 1 + x$ لكل $x \in R$ ، مع تساوي في $x = 0$ .
استنتج أن $e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ لكل $x \geq 0$ .
استنتج أن $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ لكل عدد صحيح $n \geq 1$ .

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1 الإرشاد 1

Pour montrer que $e^x \geq 1+x$, définis la fonction $g(x) = e^x - 1 - x$ et étudie ses variations : calcule sa dérivée et cherche où elle atteint son minimum.

2 الإرشاد 2

Pour la deuxième inégalité, pose $h(x) = e^x - 1 - x - \dfrac{x^2}{2}$ et remarque que sa dérivée $h'(x) = e^x - 1 - x$ est justement ce que tu as prouvé positif à la question précédente !

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Pour montrer que $e^{x} \geq 1 + x$ , définis la fonction $g (x) = e^{x} - 1 - x$ et étudie ses variations : calcule sa dérivée et cherche où elle atteint son minimum.

Pour la deuxième inégalité, pose $h (x) = e^{x} - 1 - x - \frac{x ^{2}}{2}$ et remarque que sa dérivée $h^{'} (x) = e^{x} - 1 - x$ est justement ce que tu as prouvé positif à la question précédente !

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