التمرين 4 — مبرهنة التزايدات المنتهية والمتباينات نعتبر الدالة f المعرفة على [ 0 ; + ∞ [ بـ: f ( x ) = ln ( 1 + x ) تحقق من أن f متصلة على [ 0 ; 1 ] وقابلة للاشتقاق على ] 0 ; 1 [ . احسب f ′ ( x ) . بتطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية على f على المجال [ 0 ; x ] من أجل x > 0 ، بين أنه يوجد c ∈ ] 0 ; x [ بحيث ln ( 1 + x ) = 1 + c x . استنتج أنه من أجل كل x > 0 : 1 + x x < ln ( 1 + x ) < x . باستعمال المتباينة السابقة، أوجد حصرا لـ ln ( 1 , 5 ) وأعط حصرا سعته أقل من 0 , 1 . (نذكر أن ln يرمز للوغاريتم النيبيري.)

تطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية والمتراجحات

Intermédiaire Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 4 — مبرهنة التزايدات المنتهية والمتباينات

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $[0; + \infty [$ بـ:

$f (x) = ln (1 + x)$

تحقق من أن $f$ متصلة على $[0; 1]$ وقابلة للاشتقاق على $] 0; 1 [$ . احسب $f^{'} (x)$ .
بتطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية على $f$ على المجال $[0; x]$ من أجل $x > 0$ ، بين أنه يوجد $c \in] 0; x [$ بحيث $ln (1 + x) = \frac{x}{1 + c}$ .
استنتج أنه من أجل كل $x > 0$ : $\frac{x}{1 + x} < ln (1 + x) < x$ .
باستعمال المتباينة السابقة، أوجد حصرا لـ $ln (1, 5)$ وأعط حصرا سعته أقل من $0, 1$ . (نذكر أن $ln$ يرمز للوغاريتم النيبيري.)

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points