تطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية

التمرين 3 — مبرهنة التزايدات المنتهية والمتباينات

نعتبر الدالة $h$ المعرفة على $[0,+\infty [$ بـ: $h(x)=\sqrt{1+x}$.

1. تحقق من أن $h$ متصلة على $[0,+\infty [$ وقابلة للاشتقاق على $]0,+\infty [$. احسب $h^{\prime }(x)$.
2. طبق مبرهنة التزايدات المنتهية (TAF) على $h$ على المجال $[0,x]$ من أجل $x>0$. استنتج أنه يوجد $c\in ]0,x[$ بحيث $\sqrt{1+x}-1=\frac{x}{2\sqrt{1+c}}$.
3. باستعمال حقيقة أن $0<c<x$، أثبت المتباينات التالية لكل $x>0$ :
   $1+\frac{x}{2\sqrt{1+x}}<\sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2}$.
4. استنتج حصرا لـ $\sqrt{1,04}$ بدقة $10^{-3}$. (نأخذ $x=0,04$.)