Étude d'une fonction rationnelle avec asymptotes

Exercice 2 — Étude d'une fonction rationnelle

On considère la fonction g définie par : $g(x)=\frac{2x^2+x-1}{x-1}$, de domaine de définition $D_g=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

1. Déterminer les limites de g en $+\infty$, $-\infty$, $1^{+}$ et $1^{-}$. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $C_g$.
2. Effectuer la division euclidienne de $2x^2+x-1$ par $x-1$, puis exprimer g(x) sous la forme $g(x)=ax+b+\frac{k}{x-1}$ où a, b, k sont des réels à déterminer.
3. En déduire l'asymptote oblique à $C_g$ et la position de $C_g$ par rapport à cette asymptote.
4. Calculer $g^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de g sur chacun des intervalles de $D_g$.