Étude complète d'une fonction logarithmique — situation économique

Exercice 5 — Étude complète et optimisation (contexte économique)

Une entreprise de Casablanca modélise son bénéfice journalier (en milliers de dirhams) en fonction de la quantité produite $x$ (en tonnes, $x>0$) par la fonction :

$f(x)=2x-3\ln (x)-\frac{x^2}{4}$

définie sur $]0;+\infty [$.

1. Calculer les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty$. Interpréter économiquement.
2. Montrer que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et calculer $f^{\prime }(x)$. Montrer que $f^{\prime }(x)=-\frac{x^2-8x+12}{4x}$ et factoriser le numérateur.
3. Dresser le tableau de variations complet de $f$. Déterminer la quantité produite qui maximise le bénéfice et calculer ce bénéfice maximal. (On donnera la valeur exacte.)
4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $]0;+\infty [$, notées $x_1$ et $x_2$ avec $x_1<x_2$. Montrer que $x_1\in ]0;1[$ et $x_2\in ]6;7[$.
5. En déduire l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles l'entreprise est bénéficiaire ($f(x)>0$).