Étude complète d'une fonction avec exponentielle — Bac Côte d'Ivoire 2023

Exercice 3 — Étude complète d'une fonction exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=(x-1)e^x+1$

1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $f^{\prime }(x)$. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$, et vérifier que $\alpha \in \left]-1;0\right[$.
4. Écrire l'équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $x=0$. Cette tangente est-elle au-dessous ou au-dessus de $C_f$ au voisinage de $0$ ?