التمرين 5 — مبرهنة Rolle، الدالة اللوغاريتمية والمتراجحات نعتبر الدالة f المعرفة على ] 0 , + ∞ [ بما يلي: f ( x ) = ln ( x ) − x + 1 . الجزء A — دراسة الدالة f أ. احسب f ′ ( x ) وادرس إشارتها على ] 0 , + ∞ [ . ب. أنشئ جدول تغيرات الدالة f واستنتج أن f ( x ) ≤ 0 لكل x > 0 ، مع تساوي إذا وفقط إذا كان x = 1 . ج. استنتج المتراجحة الأساسية: ln ( x ) ≤ x − 1 لكل x > 0 . الجزء B — تطبيق على دالة ثانية نعرف الدالة g على ] 0 , + ∞ [ بما يلي: g ( x ) = x − 1 − ln ( x ) . أ. عبر عن g بدلالة f واستنتج إشارة g ( x ) . ب. بين أنه لكل عددين حقيقيين a > 0 و b > 0 ، لدينا: ( a − b ) ln ( a / b ) ≥ 0 . (يمكن وضع t = a / b .) الجزء C — مبرهنة Rolle نضع h ( x ) = f ( x ) + ( x − 1 ) = ln ( x ) + x ( 1 − 1 ) ... انتبه ، نعرف بدلاً من ذلك: h ( x ) = x ⋅ ln ( x ) − x + 1 على [ 1/ e , e ] . أ. تحقق من فرضيات مبرهنة Rolle للدالة h على [ 1/ e , e ] . ب. استنتج وجود نقطة c ∈ ] 1/ e , e [ بحيث h ′ ( c ) = 0 ، وحدد قيمة c صراحةً.

مبرهنة رول ودراسة دالة لوغاريتمية

Difficile Inspiré BAC Cameroun

Exercice inspiré d'un BAC Cameroun

Source-style : BAC Cameroun Série C 2023

Inspiré du style BAC Cameroun Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 5 — مبرهنة Rolle، الدالة اللوغاريتمية والمتراجحات

نعتبر الدالة f المعرفة على $] 0, + \infty [$ بما يلي: $f (x) = ln (x) - x + 1$ .

الجزء A — دراسة الدالة f
أ. احسب $f^{'} (x)$ وادرس إشارتها على $] 0, + \infty [$ .
ب. أنشئ جدول تغيرات الدالة f واستنتج أن $f (x) \leq 0$ لكل $x > 0$ ، مع تساوي إذا وفقط إذا كان $x = 1$ .
ج. استنتج المتراجحة الأساسية: $ln (x) \leq x - 1$ لكل $x > 0$ .
الجزء B — تطبيق على دالة ثانية
نعرف الدالة g على $] 0, + \infty [$ بما يلي: $g (x) = x - 1 - ln (x)$ .
أ. عبر عن g بدلالة f واستنتج إشارة $g (x)$ .
ب. بين أنه لكل عددين حقيقيين $a > 0$ و $b > 0$ ، لدينا: $(a - b) ln (a / b) \geq 0$ . (يمكن وضع $t = a / b$ .)
الجزء C — مبرهنة Rolle
نضع $h (x) = f (x) + (x - 1) = ln (x) + x (1 - 1)$ ... انتبه، نعرف بدلاً من ذلك:
$h (x) = x \cdot ln (x) - x + 1$ على $[1/ e, e]$ .
أ. تحقق من فرضيات مبرهنة Rolle للدالة h على $[1/ e, e]$ .
ب. استنتج وجود نقطة $c \in] 1/ e, e [$ بحيث $h^{'} (c) = 0$ ، وحدد قيمة c صراحةً.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للجزء A، اشتق $f(x) = \ln(x) - x + 1$ باستعمال $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$، ثم ضع $f'(x)$ بنفس المقام لدراسة إشارتها.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للجزء B، لاحظ أن $g(x)$ و $f(x)$ مرتبطتان بتغيير بسيط في الإشارة.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للجزء C، تحقق من اتصال وقابلية اشتقاق $h$ على $[1/e, e]$ وكذا المساواة $h(1/e) = h(e)$ قبل تطبيق مبرهنة رول.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للجزء A، اشتق $f (x) = ln (x) - x + 1$ باستعمال $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ ، ثم ضع $f^{'} (x)$ بنفس المقام لدراسة إشارتها.

بالنسبة للجزء B، لاحظ أن $g (x)$ و $f (x)$ مرتبطتان بتغيير بسيط في الإشارة.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points