دراسة $f(x) = (x-1)e^x + 1$ — بكالوريا الكاميرون 2023، التمرين 4

التمرين 4 — دراسة كاملة لدالة أساسها أسي

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ: $f(x)=(x-1)e^x+1$.

نرمز بـ $C_f$ لمنحناها التمثيلي في معلم متعامد ومتجانس.

1. الجزء A — النهايات والمقاربات
   a. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
   b. بين أن المستقيم ذا المعادلة $y=1$ مقارب لـ $C_f$ عند $-\infty$. ادرس وضعية $C_f$ بالنسبة لهذا المقارب.
2. الجزء B — الاشتقاق والتغيرات
   a. احسب $f^{\prime }(x)$ وبين أن $f^{\prime }(x)=x{e}^x$.
   b. ادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ وأنشئ جدول التغيرات الكامل لـ $f$.
3. الجزء C — المماس ونقطة خاصة
   a. حدد معادلة المماس $(T)$ لـ $C_f$ عند النقطة ذات الفاصلة $0$.
   b. بين أن $(T)$ مماس لـ $C_f$ عند هذه النقطة وحدد ما إذا كان $C_f$ يقطع $(T)$ عند هذه النقطة أم لا.
4. الجزء D — المعادلة
   بين أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلا وحيدا $\alpha$ على $\mathbb{R}$، وأعط حصرا لـ $\alpha$ بالوحدة.