برهان TAF، متتالية وتأطير ln 2

التمرين 6 — التزايدات المنتهية، المتتاليات وتأطير $\ln 2$

لكل عدد صحيح طبيعي $n\ge 1$، نضع: $u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$، أي $u_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots +\frac{1}{2n}$.

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $[0;1]$ بـ $f(x)=\ln (1+x)$.

1. احسب $f^{\prime }(x)$ وتحقق أن $f$ تحقق افتراضات مبرهنة التزايدات المنتهية على كل مجال $\left[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right]$ من أجل $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$.
2. بتطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية على $f$ في المجال $\left[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right]$، بين أنه يوجد $c_k\in \left]\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right[$ بحيث:
   $\ln \left(1+\frac{k+1}{n}\right)-\ln \left(1+\frac{k}{n}\right)=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+c_k}$.
3. باستخدام التأطير $\frac{k}{n}<c_k<\frac{k+1}{n}$، بين أنه لكل $k\in \{0,\dots ,n-1\}$:
   $\frac{1}{2n+k+1}<\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+c_k}<\frac{1}{2n+k}$.
   (يمكن وضع $j=n+k$ للتبسيط.)
4. بجمع المتفاوتات من $k=0$ إلى $n-1$، بين أن:
   $u_{n+1}-\frac{1}{2n+1}<\ln (2)<u_n$.
   استنتج أن المتتالية $(u_n)$ متقاربة وأن $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\ln (2)$.
5. احسب $u_4$ على شكل كسر وتحقق أن $0,68<\ln (2)<0,70$. (نقبل أن $\ln (2)\approx 0,6931$.)