نعتبر الدالة g المعرفة على [ 0 ; 1 ] بـ: g ( x ) = ln ( 1 + x ) − x + 2 x 2 احسب g ′ ( x ) و g ′′ ( x ) . ادرس إشارة g ′′ ( x ) على [ 0 ; 1 ] . استنتج تغيرات g ′ على [ 0 ; 1 ] ، ثم بين أن g ′ ( x ) ≤ 0 من أجل كل x ∈ [ 0 ; 1 ] . استنتج تغيرات g على [ 0 ; 1 ] ، ثم بين أنه من أجل كل x ∈ [ 0 ; 1 ] : x − 2 x 2 ≤ ln ( 1 + x ) ≤ x طبق مبرهنة الزيادات المنتهية على h ( x ) = ln ( 1 + x ) على [ 0 ; t ] من أجل t > 0 للحصول مجددا على الحصر: 1 + t t ≤ ln ( 1 + t ) ≤ t . باستعمال حصر السؤال 3 مع x = n 1 ( n ∈ N ، n ≥ 1 )، بين أن المتتالية ( u n ) المعرفة بـ u n = n × ln ( 1 + n 1 ) تحقق: 1 − 2 n 1 ≤ u n ≤ 1 ، واستنتج n → + ∞ lim u n .

مبرهنة رول، مبرهنة التزايدات المنتهية والمتراجحات اللوغاريتمية

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

نعتبر الدالة g المعرفة على $[0; 1]$ بـ:

$g (x) = ln (1 + x) - x + \frac{x ^{2}}{2}$

احسب $g^{'} (x)$ و $g^{''} (x)$ . ادرس إشارة $g^{''} (x)$ على $[0; 1]$ .
استنتج تغيرات $g^{'}$ على $[0; 1]$ ، ثم بين أن $g^{'} (x) \leq 0$ من أجل كل $x \in [0; 1]$ .
استنتج تغيرات $g$ على $[0; 1]$ ، ثم بين أنه من أجل كل $x \in [0; 1]$ :

$x - \frac{x ^{2}}{2} \leq ln (1 + x) \leq x$

طبق مبرهنة الزيادات المنتهية على $h (x) = ln (1 + x)$ على $[0; t]$ من أجل $t > 0$ للحصول مجددا على الحصر: $\frac{t}{1 + t} \leq ln (1 + t) \leq t$ .
باستعمال حصر السؤال 3 مع $x = \frac{1}{n}$ ( $n \in N$ ، $n \geq 1$ )، بين أن المتتالية $(u_{n})$ المعرفة بـ $u_{n} = n \times ln (1 + \frac{1}{n})$ تحقق: $1 - \frac{1}{2 n} \leq u_{n} \leq 1$ ، واستنتج $n \to + \infty lim u_{n}$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لحساب $g'(x)$، اشتق حدا حدا $\ln(1+x)$، $-x$ و $\dfrac{x^2}{2}$، ثم اجعل المقام مشتركا للتبسيط.

2 الإرشاد 2

لدراسة اشارة $g''(x)$، حلل البسط الى عوامل لاظهار الحد $x(x+2)$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 3، استعمل اتجاه تغير $g$ وقيمة $g(0)$ للحصول على متراجحة اولى، ثم ادخل دالة مساعدة $\varphi(x)=x-\ln(1+x)$ للمتراجحة الثانية.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لحساب $g^{'} (x)$ ، اشتق حدا حدا $ln (1 + x)$ ، $- x$ و $\frac{x ^{2}}{2}$ ، ثم اجعل المقام مشتركا للتبسيط.

لدراسة اشارة $g^{''} (x)$ ، حلل البسط الى عوامل لاظهار الحد $x (x + 2)$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points