تطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية والمتراجحات

التمرين 4 — مبرهنة التزايدات المنتهية والمتفاوتات

نعتبر الدالة f المعرفة على $[0;+\infty [$ بما يلي: $f(x)=\ln (1+x)$.

1. تحقق أن f متصلة على $[0;1]$ وقابلة للاشتقاق على $]0;1[$. احسب $f^{\prime }(x)$.
2. طبق مبرهنة التزايدات المنتهية على الدالة f على المجال $[0;1]$. ماذا تستنتج بخصوص وجود عدد حقيقي c؟
3. باستعمال كون $f^{\prime }$ دالة تناقصية قطعا على $]0;1[$, بين أنه لكل $x>0$ :
   $\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$.
4. استنتج من السؤال السابق النهايات التالية:
   (a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}$
   (b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }n\cdot \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$
5. مهندس بالدار البيضاء نمذج معدل نمو بواسطة $g(n)=n\cdot \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ من أجل $n\ge 1$ عدد صحيح طبيعي. بين أن g تزايدية قطعا ومكبورة بالعدد 1. ماذا يمكنك أن تقول عن المتتالية $(g(n){)}_{n\ge 1}$ ؟