دراسة دالة لوغاريتمية - أمثلة

التمرين 5 — الدالة اللوغاريتمية والأمثلة

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $]0;+\infty [$ بـ: $f(x)=x^2-2x\cdot \ln (x)$.

نرمز بـ $C_f$ لمنحناها التمثيلي في معلم متعامد ومتجانس.

1. ادرس نهايات $f$ عند $0^{+}$ وعند $+\infty$. (نقبل أن $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\cdot \ln (x)=0$.)
2. احسب $f^{\prime }(x)$ و $f^{\prime \prime }(x)$. ادرس تغيرات $f$ وتحدبها.
3. بين أن $f$ تقبل حدا أدنى شاملا وأعط قيمته الدقيقة.
4. بين أن المعادلة $f(x)=1$ تقبل بالضبط حلين $x_1$ و $x_2$ حيث $0<x_1<1<x_2$. برر بعناية.
5. نضع $g(x)=\frac{f(x)}{x}=x-2\cdot \ln (x)$ من أجل $x>0$.
   (a) بين أن $g$ محدبة على $]0;+\infty [$.
   (b) طبق مبرهنة رول على دالة مختارة بشكل جيد لتبين أنه يوجد $c\in ]x_1;x_2[$ بحيث $g^{\prime }(c)=0$، وحدد $c$.
6. مسألة أمثلة: تقوم مقاولة بمراكش بنمذجة ربحها (بآلاف الدراهم) بـ $P(x)=-f(x)+3$، حيث $x\in ]0;+\infty [$ تمثل الكمية المنتجة (بالأطنان). حدد الكمية $x^{\ast }$ التي تعظم الربح واحسب الربح الأقصى.