التقعر، نقطة الانعطاف والمتراجحة باستعمال م.ت.م

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $]0;+\infty [$ بـ:

$f(x)=x\ln (x)-x+1$

1. احسب $f^{\prime }(x)$ ثم $f^{\prime \prime }(x)$. استنتج تحدب $f$ على $]0;+\infty [$.
2. بين أن $f$ تقبل قيمة صغرى عند $x=1$ واحسب $f(1)$. استنتج أنه من أجل كل $x>0$ : $x\ln (x)\ge x-1$.
3. باستعمال مبرهنة التزايدات المنتهية المطبقة على الدالة $\ln$ على المجال $[1;2]$، بين أنه يوجد $c\in ]1;2[$ بحيث $\ln (2)=\frac{1}{c}$، ثم استنتج الحصر: $\frac{1}{2}<\ln (2)<1$.
4. حدد معادلة المماس لمنحنى $C_f$ عند النقطة ذات الفاصلة $1$، وبين أن هذا المماس يقع أسفل $C_f$ (فسر هندسيا التحدب).