التمرين 5 — الدالة اللوغاريتمية، التغيرات ومبرهنة Rolle نعتبر الدالة f المعرفة على ] 0 ; + ∞ [ بما يلي : f ( x ) = x 2 − 4 x + 4 ln ( x ) + 3 ونرمز بـ C f إلى منحناها الممثل. احسب f ′ ( x ) . ادرس إشارتها مع التمييز بين الحالتين حسب x ∈ ] 0 ; 1 [ و x ∈ ] 1 ; + ∞ [ . ضع جدول التغيرات الكامل للدالة f (فكر في حساب النهايات عند 0 + وعند + ∞ ). بين أن المعادلة f ( x ) = 0 تقبل حلين بالضبط x 1 و x 2 حيث 0 < x 1 < 1 < x 2 . (نقبل أن f ( 1/ e ) < 0 ونتحقق من تأطير مناسب.) طبق مبرهنة Rolle على الدالة f ′ على [ x 1 ; x 2 ] لتبين أنه يوجد c ∈ ] x 1 ; x 2 [ بحيث f ′′ ( c ) = 0 . احسب f ′′ ( x ) وحدد القيمة المضبوطة لـ c . اكتب معادلة المماس للمنحنى C f في النقطة التي أفصولها x = 1 .

دراسة دالة لوغاريتمية مبرهنة رول

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 5 — الدالة اللوغاريتمية، التغيرات ومبرهنة Rolle

نعتبر الدالة f المعرفة على $] 0; + \infty [$ بما يلي :

$f (x) = x^{2} - 4 x + 4 ln (x) + 3$

ونرمز بـ $C_{f}$ إلى منحناها الممثل.

احسب $f^{'} (x)$ . ادرس إشارتها مع التمييز بين الحالتين حسب $x \in] 0; 1 [$ و $x \in] 1; + \infty [$ . ضع جدول التغيرات الكامل للدالة f (فكر في حساب النهايات عند $0^{+}$ وعند $+ \infty$ ).
بين أن المعادلة $f (x) = 0$ تقبل حلين بالضبط $x_{1}$ و $x_{2}$ حيث $0 < x_{1} < 1 < x_{2}$ . (نقبل أن $f (1/ e) < 0$ ونتحقق من تأطير مناسب.)
طبق مبرهنة Rolle على الدالة $f^{'}$ على $[x_{1}; x_{2}]$ لتبين أنه يوجد $c \in] x_{1}; x_{2} [$ بحيث $f^{''} (c) = 0$ . احسب $f^{''} (x)$ وحدد القيمة المضبوطة لـ $c$ .
اكتب معادلة المماس للمنحنى $C_{f}$ في النقطة التي أفصولها $x = 1$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

ضع $f'(x)$ على نفس المقام $x$: تحصل على $f'(x)=\dfrac{2x^2-4x+4}{x}$. ادرس إشارة البسط $2(x^2-2x+2)$ بحساب مميزه.

2 الإرشاد 2

من أجل النهايات، افصل الحدود: عند $0^+$ انظر ماذا يفعل $4\ln(x)$، وعند $+\infty$ قارن نمو $x^2$ بنمو $4\ln(x)$.

3 الإرشاد 3

استعمل مبرهنة القيم الوسيطية مع الرتابة القطعية لإثبات وجود ووحدانية الحل، ثم جرب قيمة بسيطة مثل $x=1$ في $f$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

ضع $f^{'} (x)$ على نفس المقام $x$ : تحصل على $f^{'} (x) = \frac{2 x ^{2} - 4 x + 4}{x}$ . ادرس إشارة البسط $2 (x^{2} - 2 x + 2)$ بحساب مميزه.

من أجل النهايات، افصل الحدود: عند $0^{+}$ انظر ماذا يفعل $4 ln (x)$ ، وعند $+ \infty$ قارن نمو $x^{2}$ بنمو $4 ln (x)$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points