تطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية والمتراجحات

التمرين 3 — مبرهنة التزايدات المنتهية والمتباينات

نعتبر الدالة h المعرفة على $[0;+\infty [$ بـ:

$h(x)=\ln (1+x)$

1. بيّن أن h متصلة على $[0;1]$ وقابلة للاشتقاق على $]0;1[$.
2. طبّق مبرهنة التزايدات المنتهية (TAF) على h على $[0;1]$: بيّن أنه يوجد $c\in ]0;1[$ بحيث $h(1)-h(0)=h^{\prime }(c)\cdot (1-0)$، ثم استنتج أن $\frac{1}{2}<\ln (2)<1$.
3. بصفة أعم، بتطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية على h على $[0;x]$ من أجل $x>0$، بيّن أنه من أجل كل $x>0$:

   $\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$