Étude de $h(x) = \dfrac{x^2-x+1}{x-1}$ et asymptotes — Bac Sénégal 2023

Exercice 4 — Étude complète d'une fonction rationnelle

On considère la fonction h définie par :

$h(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$

dont on note $C_h$ la courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. Déterminer le domaine de définition $D_h$ de h.
2. Effectuer la division euclidienne de $x^2-x+1$ par $x-1$, et en déduire une écriture de $h(x)$ sous la forme $h(x)=ax+b+\frac{c}{x-1}$ où $a,b,c\in \mathbb{R}$ à déterminer.
3. En déduire l'asymptote oblique de $C_h$ et l'asymptote verticale.
4. Calculer $h^{\prime }(x)$ et étudier le signe de $h^{\prime }(x)$. Dresser le tableau de variations de h.
5. Écrire l'équation de la tangente à $C_h$ au point d'abscisse $x=-1$.