Application du théorème des accroissements finis et inégalités — Bac Sénégal 2023

Exercice 3 — Théorème des accroissements finis et inégalités

On considère la fonction h définie sur $[0;+\infty [$ par :

$h(x)=\ln (1+x)$

1. Montrer que h est continue sur $[0;1]$ et dérivable sur $]0;1[$.
2. Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) à h sur $[0;1]$ : montrer qu'il existe $c\in ]0;1[$ tel que $h(1)-h(0)=h^{\prime }(c)\cdot (1-0)$, puis en déduire que $\frac{1}{2}<\ln (2)<1$.
3. Plus généralement, en appliquant le TAF à h sur $[0;x]$ pour $x>0$, montrer que pour tout $x>0$ :

   $\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$