مبرهنة التزايدات المنتهية والمتراجحة اللوغاريتمية

التمرين 3 — الزيادات المنتهية والتأطير

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $]0;+\infty [$ بـ:

$f(x)=\ln (x)$

1. تحقق من أن $f$ متصلة على $[1;2]$ وقابلة للاشتقاق على $]1;2[$.
2. طبق مبرهنة الزيادات المنتهية على $f$ على $[1;2]$: بين أنه يوجد $c\in ]1;2[$ بحيث $f(2)-f(1)=f^{\prime }(c)\cdot (2-1)$، واستنتج أنه يوجد $c\in ]1;2[$ بحيث $\ln (2)=\frac{1}{c}$.
3. استنتج التأطير: $\frac{1}{2}<\ln (2)<1$.
4. بشكل أعم، لكل عدد حقيقي $x>0$، طبق مبرهنة الزيادات المنتهية على $f$ على المجال $[1;1+x]$ (مع $x>0$) لتبين أن: $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$.