Exercice 5 — Théorème de Rolle, étude et inégalité On considère la fonction f définie sur ]0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = ln ( x ) − x + 1 Partie A — Étude de f Calculer f ′ ( x ) et étudier son signe. En déduire les variations de f . Dresser le tableau de variations complet de f (inclure les limites en 0 + et en + ∞ ). Montrer que f admet un maximum global, et en déduire que pour tout x > 0 : ln ( x ) ≤ x − 1 . Partie B — Application du théorème de Rolle On considère la fonction g définie sur [ 1 ; e 2 ] par : g ( x ) = ln ( x ) − e 2 − 1 1 ⋅ ( x − 1 ) Vérifier que g ( 1 ) = g ( e 2 ) . En déduire, par le théorème de Rolle, l'existence d'un réel c ∈ ] 1 ; e 2 [ tel que g ′ ( c ) = 0 . Montrer que c est l'unique solution dans ] 1 ; e 2 [ de l'équation x 1 = e 2 − 1 1 , et calculer la valeur exacte de c . Partie C — Inégalité En utilisant le résultat de la Partie A, montrer que pour tout réel t > − 1 avec t  = 0 : ln ( 1 + t ) < t et que cette inégalité est stricte.

Théorème de Rolle et étude d'une fonction avec ln et polynôme

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 5 — Théorème de Rolle, étude et inégalité

On considère la fonction f définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par :

$f (x) = ln (x) - x + 1$

Partie A — Étude de f
1. Calculer $f^{'} (x)$ et étudier son signe. En déduire les variations de f.
2. Dresser le tableau de variations complet de f (inclure les limites en $0^{+}$ et en + $\infty$ ).
3. Montrer que f admet un maximum global, et en déduire que pour tout $x > 0$ : $ln (x) \leq x - 1$ .
Partie B — Application du théorème de Rolle
On considère la fonction g définie sur $[1; e^{2}]$ par :
$g (x) = ln (x) - \frac{1}{e ^{2} - 1} \cdot (x - 1)$
1. Vérifier que $g (1) = g (e^{2})$ . En déduire, par le théorème de Rolle, l'existence d'un réel $c \in] 1; e^{2} [$ tel que $g^{'} (c) = 0$ .
2. Montrer que $c$ est l'unique solution dans $] 1; e^{2} [$ de l'équation $\frac{1}{x} = \frac{1}{e ^{2} - 1}$ , et calculer la valeur exacte de $c$ .
Partie C — Inégalité
En utilisant le résultat de la Partie A, montrer que pour tout réel $t > - 1$ avec $t \neq = 0$ :
$ln (1 + t) < t$
et que cette inégalité est stricte.

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1 Indice 1

Pour la partie A, calcule $f'(x)=\dfrac{1}{x}-1$, mets au meme denominateur et etudie le signe de $1-x$ pour $x>0$.

2 Indice 2

Pour la partie B, verifie soigneusement $g(1)$ et $g(e^2)$ avec l'expression donnee ; le theoreme de Rolle exige $g(1)=g(e^2)$.

3 Indice 3

Pour la partie C, utilise l'inegalite $\ln(x)\le x-1$ obtenue en partie A en posant $x=1+t$, et discute le cas d'egalite selon la valeur de $t$.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la partie A, calcule $f^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1$ , mets au meme denominateur et etudie le signe de $1 - x$ pour $x > 0$ .

Pour la partie B, verifie soigneusement $g (1)$ et $g (e^{2})$ avec l'expression donnee ; le theoreme de Rolle exige $g (1) = g (e^{2})$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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