Théorème des accroissements finis et inégalité logarithmique

Exercice 3 — Accroissements finis et encadrement

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par :

$f(x)=\ln (x)$

1. Vérifier que $f$ est continue sur $[1;2]$ et dérivable sur $]1;2[$.
2. Appliquer le théorème des accroissements finis à $f$ sur $[1;2]$ : montrer qu'il existe $c\in ]1;2[$ tel que $f(2)-f(1)=f^{\prime }(c)\cdot (2-1)$, et en déduire qu'il existe $c\in ]1;2[$ tel que $\ln (2)=\frac{1}{c}$.
3. En déduire l'encadrement : $\frac{1}{2}<\ln (2)<1$.
4. Plus généralement, pour tout réel $x>0$, appliquer le TAF à $f$ sur l'intervalle $[1;1+x]$ (avec $x>0$) pour montrer que : $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$.