التمرين 5 — مبرهنة Rolle، دراسة ومتراجحة نعتبر الدالة f المعرفة على المجال ]0 ; + ∞ [ بما يلي: f ( x ) = ln ( x ) − x + 1 الجزء A — دراسة الدالة f احسب f ′ ( x ) وادرس إشارتها. استنتج تغيرات الدالة f . أنجز جدول التغيرات الكامل للدالة f (مع تضمين النهايات عند 0 + وعند + ∞ ). بين أن الدالة f تقبل قيمة قصوى مطلقة، واستنتج أنه لكل x > 0 : ln ( x ) ≤ x − 1 . الجزء B — تطبيق مبرهنة Rolle نعتبر الدالة g المعرفة على المجال [ 1 ; e 2 ] بما يلي: g ( x ) = ln ( x ) − e 2 − 1 1 ⋅ ( x − 1 ) تحقق أن g ( 1 ) = g ( e 2 ) . استنتج، باستعمال مبرهنة Rolle، وجود عدد حقيقي c ∈ ] 1 ; e 2 [ بحيث g ′ ( c ) = 0 . بين أن c هو الحل الوحيد في المجال ] 1 ; e 2 [ للمعادلة x 1 = e 2 − 1 1 ، واحسب القيمة المضبوطة لـ c . الجزء C — متراجحة باستعمال نتيجة الجزء A، بين أنه لكل عدد حقيقي t > − 1 و t  = 0 : ln ( 1 + t ) < t وأن هذه المتراجحة قطعية.

مبرهنة رول ودراسة دالة ln وحدودية

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 5 — مبرهنة Rolle، دراسة ومتراجحة

نعتبر الدالة f المعرفة على المجال ]0 ; + $\infty$ [ بما يلي:

$f (x) = ln (x) - x + 1$

الجزء A — دراسة الدالة f
1. احسب $f^{'} (x)$ وادرس إشارتها. استنتج تغيرات الدالة f.
2. أنجز جدول التغيرات الكامل للدالة f (مع تضمين النهايات عند $0^{+}$ وعند + $\infty$ ).
3. بين أن الدالة f تقبل قيمة قصوى مطلقة، واستنتج أنه لكل $x > 0$ : $ln (x) \leq x - 1$ .
الجزء B — تطبيق مبرهنة Rolle
نعتبر الدالة g المعرفة على المجال $[1; e^{2}]$ بما يلي:
$g (x) = ln (x) - \frac{1}{e ^{2} - 1} \cdot (x - 1)$
1. تحقق أن $g (1) = g (e^{2})$ . استنتج، باستعمال مبرهنة Rolle، وجود عدد حقيقي $c \in] 1; e^{2} [$ بحيث $g^{'} (c) = 0$ .
2. بين أن $c$ هو الحل الوحيد في المجال $] 1; e^{2} [$ للمعادلة $\frac{1}{x} = \frac{1}{e ^{2} - 1}$ ، واحسب القيمة المضبوطة لـ $c$ .
الجزء C — متراجحة
باستعمال نتيجة الجزء A، بين أنه لكل عدد حقيقي $t > - 1$ و $t \neq = 0$ :
$ln (1 + t) < t$
وأن هذه المتراجحة قطعية.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للجزء A، احسب $f'(x)=\dfrac{1}{x}-1$، وحّد المقام وادرس إشارة $1-x$ من أجل $x>0$.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للجزء B، تحقق بعناية من $g(1)$ و $g(e^2)$ بالعبارة المعطاة؛ مبرهنة رول تتطلب $g(1)=g(e^2)$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للجزء C، استعمل المتراجحة $\ln(x)\le x-1$ المحصل عليها في الجزء A بوضع $x=1+t$، وناقش حالة التساوي حسب قيمة $t$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للجزء A، احسب $f^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1$ ، وحّد المقام وادرس إشارة $1 - x$ من أجل $x > 0$ .

بالنسبة للجزء B، تحقق بعناية من $g (1)$ و $g (e^{2})$ بالعبارة المعطاة؛ مبرهنة رول تتطلب $g (1) = g (e^{2})$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points