وضعية-مسألة: الاضمحلال الإشعاعي بالدار البيضاء

التمرين 3 — نمذجة بواسطة معادلة تفاضلية

يدرس مختبر بالدار البيضاء تفكك عينة مشعة. نرمز بـ $m(t)$ إلى كتلة (بالجرام) المادة المشعة الموجودة عند اللحظة $t$ (بالساعات)، حيث $t\ge 0$.

يقوم الفيزيائي بنمذجة تطور $m$ بواسطة المعادلة التفاضلية:

(E) : $m^{\prime }(t)=-0,2\cdot m(t)$

عند اللحظة البدئية ($t=0$)، الكتلة هي $m(0)=50$ g.

1. حل المعادلة (E) وتحديد الحل الخاص الذي يحقق $m(0)=50$.
2. احسب الكتلة الموجودة بعد 5 ساعات. أعطِ القيمة المضبوطة، ثم قيمة مقربة إلى $10^{-2}$ (نذكر أن $e^{-1}\approx 0,368$).
3. حدد بعد كم من الوقت ستصبح الكتلة أقل من 1 g. عبر عن الإجابة باستخدام اللوغاريتم الطبيعي $\ln$، ثم أعطِ قيمة مقربة إلى الوحدة (نذكر أن $\ln (50)\approx 3,912$).
4. هل تنعدم الكتلة $m(t)$ لقيمة منتهية لـ $t$؟ علل جوابك.