Équation différentielle du second ordre — Oscillations

Exercice 5 — Équation différentielle du second ordre

On considère l'équation différentielle du second ordre :

(E) : $y^{\prime \prime }+5y^{\prime }+6y=0$

où $y$ est une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. On appelle équation caractéristique de (E) l'équation : $r^2+5r+6=0$.
   a) Calculer le discriminant $\Delta$ de cette équation du second degré.
   b) Déterminer les deux racines réelles $r_1$ et $r_2$.
2. On admet que la solution générale de (E) est de la forme :
   $y(x)=A\cdot e^{r_{1}x}+B\cdot e^{r_{2}x}$, avec $A,B\in \mathbb{R}$.
   Vérifier ce résultat en substituant cette expression dans (E).
3. Déterminer la solution particulière de (E) vérifiant les conditions initiales :
   $y(0)=1$ et $y^{\prime }(0)=0$.
4. Étudier le comportement de cette solution particulière en $+\infty$ et en $-\infty$.