Modélisation d'une décroissance radioactive (situation-problème)

Exercice 3 — Situation-problème

Un laboratoire de recherche à Casablanca étudie la désintégration d'un élément radioactif. On modélise la quantité (en grammes) de cet élément présent à l'instant t (en heures, t $\ge$ 0) par une fonction m vérifiant :

(E) : $m^{\prime }(t)=-k\cdot m(t)$, où k est une constante strictement positive.

À t = 0, la quantité initiale est $m(0)=80$ g. On observe qu'après 6 heures, il reste 20 g.

1. Donner la solution générale de (E), puis exprimer $m(t)$ en fonction de k et t en tenant compte de la condition initiale.
2. Déterminer la valeur exacte de k, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près. (On rappelle que $\ln (4)\approx 1,386$.)
3. Déterminer le temps T (en heures) nécessaire pour que la quantité soit réduite à 5 g. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
4. On appelle demi-vie le temps $t_{1/2}$ au bout duquel la quantité est divisée par 2. Calculer $t_{1/2}$ en fonction de k, puis donner sa valeur approchée.