دراسة دالة بمتغير ومتراجحة أسية

التمرين 6 — دالة وسيطية ومتراجحات

لكل عدد حقيقي m، نعتبر الدالة $f_m$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي:

$f_m(x)=e^x-mx-1$

1. الجزء A — دراسة حسب m

   1. احسب $f_m^{\prime }(x)$ وبين أن $f_m$ تقبل قيمة دنيا مطلقة عند $x_m=\ln (m)$ عندما يكون $m>0$.
   2. استنتج أنه، من أجل $m>0$: $f_m(x)\ge 0$ لكل $x\in \mathbb{R}$ إذا وفقط إذا كان $f_m(\ln m)\ge 0$. احسب $f_m(\ln m)$ واستنتج.

2. الجزء B — متراجحة أساسية

   باستخدام نتيجة الجزء A، برهن أنه لكل $x\in \mathbb{R}$:

   $e^x\ge x+1$

   مع تحقق المساواة إذا وفقط إذا كان $x=0$.

3. الجزء C — تطبيق

   1. بتطبيق المتراجحة من الجزء B على $x=\frac{1}{n}$ (حيث $n\ge 1$ عدد صحيح)، بين أن: $e^{1/n}\ge 1+\frac{1}{n}$.
   2. استنتج أنه لكل عدد صحيح $n\ge 1$: ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\le e$.
   3. بين بنفس الطريقة، بتطبيق المتراجحة على $x=-\frac{1}{n+1}$، أن: ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\ge e\cdot e^{-\frac{1}{(n+1)\cdot n}}$... (نقبل هذه الخطوة ونستنتج أن المتتالية $v_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ تتقارب نحو $e$.)