دالة ببارامتر، اتصال ونهاية مبرهنة

نُعرف الدالة f على $\mathbb{R}$ بما يلي:

$f(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^x-1}$ إذا كان $x\ne 0$, و $f(0)=k$

حيث k عدد حقيقي يجب تحديده.

1. بين أن $f(x)=e^x+1$ من أجل $x\ne 0$. استنتج $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$.
2. حدد قيمة k لكي تكون الدالة f متصلة في 0.
3. نعتبر الآن الدالة g المعرفة على $]0;+\infty [$ بما يلي: $g(x)=\frac{e^x-1-x}{x^2}$. احسب $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$ باستخدام النهايات المرجعية. (يمكن كتابة $e^x-1=x\times \frac{e^x-1}{x}$ ودراسة كل عامل بعناية.)
4. نقبل أن g تزايدية على $]0;+\infty [$ وأن $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=+\infty$. بين أن المعادلة $g(x)=1$ تقبل حلاً وحيدًا $\beta$ على $]0;+\infty [$ وأن $\beta \in ]1;2[$.