الوسيط والاتصال - معادلة مبرهنة القيم الوسيطية والتفرد

لكل عدد حقيقي m، نُعرف الدالة $f_m$ على $\mathbb{R}$ بما يلي:

$f_m(x)=m\cdot e^x-x^2-2x-1$

1. بين أن $f_m$ متصلة على $\mathbb{R}$ لكل $m\in \mathbb{R}$.
2. نبحث عن قيم m التي من أجلها تقبل المعادلة $f_m(x)=0$ حلاً واحداً على الأقل في المجال $[0;1]$.
   أ) احسب $f_m(0)$ و $f_m(1)$ بدلالة m.
   ب) أوجد قيم m بحيث $f_m(0)\times f_m(1)\le 0$، واستنتج باستعمال مبرهنة القيم الوسيطية (TVI).
3. نضع $m=1$. بين أن المعادلة $f_1(x)=0$ تقبل حلاً وحيداً $\alpha$ في $[0;1]$.
   (سنبين أن $f_1$ رتيبة قطعا على $[0;1]$ بدراسة إشارة $f_1^{\prime }(x)$.)
4. بين أن $0,2<\alpha <0,3$. (سنحسب $f_1(0,2)$ و $f_1(0,3)$ باستعمال $e\approx 2,718$ و $e^{0,2}\approx 1,221$ و $e^{0,3}\approx 1,350$.)
5. بين أنه لكل $x\in [0;1]$ : $f_1(x)=0\iff e^x=x^2+2x+1$. فسر هندسياً.