نهاية متتالية معرفة بعلاقة تراجعية ونقطة ثابتة

التمرين 5 — المتتالية التراجعية، الاتصال والنقطة الثابتة

نعتبر الدالة f المعرفة على [0 ; 1] بما يلي :

$f(x)=\frac{1}{3}\times (x^2+2)$

والمتتالية $(u_n)$ المعرفة بـ $u_0=0$ و $u_{n+1}=f(u_n)$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. بين أن f متصلة على [0 ; 1] وأن $f([0;1])\subset [0;1]$.
2. بين بالترجع أنه لكل $n\in \mathbb{N}$، $u_n\in [0;1]$.
3. بين أنه لكل $x\in [0;1]$ : $|f(x)-f(y)|\le \frac{2}{3}|x-y|$ لكل $y\in [0;1]$.
   إرشاد : استعمل $f(x)-f(y)=\frac{x^2-y^2}{3}=\frac{(x-y)(x+y)}{3}$.
4. استنتج أنه لكل $n\in \mathbb{N}$ : $|u_{n+1}-u_n|\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^n\times |u_1-u_0|$. احسب $u_1$، ثم بين أن $|u_{n+1}-u_n|\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^n\times \frac{2}{3}$.
5. افترض أن $(u_n)$ تتقارب نحو عدد حقيقي $\ell \in [0;1]$. حدد $\ell$ بحل المعادلة $f(\ell )=\ell$ على [0 ; 1].