دراسة دالة نهاية ∞−∞ واتصال

لتكن الدالة f معرفة على $[0;+\infty [$ بـ:

$f(x)=\sqrt{x^2+4x}-x$ من أجل $x>0$، و $f(0)=0$.

1. بين أن $f$ متصلة عند $0$.
2. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. هل الشكل غير معين؟ ارفع حالة عدم التعيين بالضرب في المرافق.
3. نعتبر الآن الدالة g معرفة على $]0;+\infty [$ بـ:
   $g(x)=\frac{f(x)}{\ln (1+1/x)}$.
   بين أن $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=2$. (نضع $u=\frac{1}{x}$ ونستعمل نهاية مرجعية.)
4. هل الدالة g قابلة للامتداد بالاتصال عند $+\infty$؟ علل.
5. بين أنه من أجل كل $x>0$: $f(x)>0$. استنتج إشارة $g(x)$.