الاتصال، مبرهنة القيم الوسيطية والنقطة الثابتة

التمرين 6 — نقطة ثابتة ومبرهنة القيم المتوسطة

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $[0;1]$ بـ:

$f(x)=\frac{\ln (x+e)}{e}$

حيث $e$ يرمز لثابتة نيبير ($e\approx 2,718$).

1. بين أن $f$ متصلة على $[0;1]$.
2. بين أنه من أجل كل $x\in [0;1]$، لدينا $f(x)\in [0;1]$. (نبين أن $1\le x+e\le e+1$، ثم نحصر $\ln (x+e)$.)
3. نعرف الدالة $g$ على $[0;1]$ بـ $g(x)=f(x)-x$.
   a. احسب $g(0)$ و $g(1)$.
   b. بين أن المعادلة $f(x)=x$ تقبل حلا واحدا على الأقل في $[0;1]$. تسمى هذه النقطة نقطة ثابتة للدالة $f$.
   c. بين أن هذا الحل وحيد. (نقبل أن $f$ متزايدة تماما وأن $f(x)-x$ متناقصة تماما على $[0;1]$.)
4. باستعمال متتالية $(x_n)$ معرفة بـ $x_0=0$ و $x_{n+1}=f(x_n)$، أعط الحدود الثلاثة الأولى $x_0$، $x_1$، $x_2$ (قيم مقربة إلى $10^{-3}$)، وتحقق من أنها تبدو متقاربة نحو النقطة الثابتة.