النهايات، الأشكال غير المحددة ومبرهنة القيم الوسيطية

التمرين 2 – دراسة دالة وتطبيق مبرهنة القيم المتوسطة

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $]0;+\infty [$ بـ:

$f(x)=x-2+\ln (x)$

الجزء A – دراسة النهايات

1. احسب $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. فسر هذه النتيجة بيانياً.

2. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. برر أن المقارنات بين النمو غير ضرورية هنا.

الجزء B – الاستمرارية وتطبيق مبرهنة القيم المتوسطة

3. برر أن $f$ متصلة على $]0;+\infty [$.

4. بين أن $f$ متزايدة تماماً على $]0;+\infty [$. (نسلم بأن $f$ قابلة للاشتقاق وأن $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x}$.)

5. بين أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلاً وحيداً $\alpha$ على $]0;+\infty [$.

6. بين أن $\alpha \in ]0,1;0,2[$. (نذكر بأن $\ln (0,1)\approx -2,303$ و $\ln (0,2)\approx -1,609$.)