نهاية من الشكل 1^∞ ودراسة شاملة

التمرين 5 — الشكل غير المحدد $1^{\infty }$ ودراسة دالة

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $]0;+\infty [$ بـ:

$f(x)=x^{1/\ln (x)}$   (أي $x$ مرفوعة إلى الأس $\frac{1}{\ln (x)}$)

1. بين أنه من أجل كل $x>0$، $x\ne 1$، لدينا: $f(x)=e^{\ln (x)/\ln (x)}=e$. استنتج طبيعة $f$.
2. ما قيمة $f(1)$؟ (نذكر أن $1^{1/\ln (1)}$ غير معرفة لأن $\ln (1)=0$.)
3. نضع الآن $g(x)={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ من أجل $x>0$.
   a. بين أن $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=e$ باستعمال النهاية المرجعية $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$.
   b. احسب $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$ بدراسة $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$. حدد الشكل غير المحدد. (يمكن كتابة $1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$.)
   c. استنتج أن المعادلة $g(x)=2$ تقبل حلا واحدا على الأقل في $]0;+\infty [$. تحقق من فرضيات المبرهنة المستعملة.
4. بين أن $g$ متزايدة تماما على $]0;+\infty [$ بدراسة إشارة $\ln (g(x))=x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ (نسلم بأن مشتقة $x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ هي $\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}$، ونسلم بأن هذا التعبير موجب من أجل $x>0$). استنتج وحدانية حل المعادلة $g(x)=2$.