دراسة دالة بمتغير – اتصال ومقارب

التمرين 4 — دالة بمعامل، الاستمرارية والمستقيم المقارب المائل

لتكن الدالة f المعرفة على $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ بـ:

$f(x)=\frac{2x^2+ax+1}{x+1}$

حيث $a$ عدد حقيقي.

1. حدد قيمة $a$ بحيث تكون f قابلة للتمديد بالاستمرارية عند $x=-1$. نرمز لهذه القيمة بـ $a_0$ ونضع من الآن فصاعداً $a=a_0$.
2. بالقيمة $a_0$ المحصل عليها، أنجز القسمة الإقليدية لـ $2x^2+a_{0}x+1$ على $(x+1)$، ثم استنتج وجود مستقيم مقارب مائل لمنحنى f عند $+\infty$ وعند $-\infty$. حدد معادلته.
3. بين أنه من أجل كل $x\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}$، $f(x)-(2x-2)=\frac{3}{x+1}$. استنتج موضع منحنى f بالنسبة لمستقيمه المقارب المائل حسب إشارة $x+1$.