Étude complète : croissances comparées et asymptotes

Soit la fonction f définie sur $]0;+\infty [$ par :

$f(x)=x-2\sqrt{x}+\ln (x)$

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement.
2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. On justifiera soigneusement en utilisant les croissances comparées.
3. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x>0$. Dresser le tableau de variations de f.
4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $]0;+\infty [$. On admettra que $f(1)=-1$ et $f(4)=0$.
5. Soit la droite (D) d'équation $y=x$. Étudier la position de (C) par rapport à (D) et interpréter graphiquement.