نعتبر الدالة h المعرفة على ] 0 ; + ∞ [ ∖ { 1 } بـ: h ( x ) = x x − 1 1 نضع x = 1 + t ، بحيث أن x → 1 يكافئ t → 0 . بين أن h ( x ) = ( 1 + t ) t 1 بعد تغيير المتغير t = x − 1 . استنتج x → 1 lim h ( x ) ، مع تحديد النهاية المرجعية المستعملة. هل الدالة h قابلة للامتداد بالاستمرارية في 1 ؟ عرّف، إن أمكن، هذا الامتداد. احسب x → + ∞ lim h ( x ) . (يمكن كتابة h ( x ) = e x − 1 l n ( x ) ودراسة الأس.)

شكل غير محدد 1^∞ ونهاية اعتيادية

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

نعتبر الدالة h المعرفة على $] 0; + \infty [∖ {1}$ بـ:

$h (x) = x^{\frac{1}{x - 1}}$

نضع $x = 1 + t$ ، بحيث أن $x \to 1$ يكافئ $t \to 0$ .

بين أن $h (x) = (1 + t)^{\frac{1}{t}}$ بعد تغيير المتغير $t = x - 1$ .
استنتج $x \to 1 lim h (x)$ ، مع تحديد النهاية المرجعية المستعملة.
هل الدالة h قابلة للامتداد بالاستمرارية في $1$ ؟ عرّف، إن أمكن، هذا الامتداد.
احسب $x \to + \infty lim h (x)$ . (يمكن كتابة $h (x) = e^{\frac{l n ( x )}{x - 1}}$ ودراسة الأس.)

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

Pour la limite quand $x \to 1$, après le changement de variable $t = x - 1$, tu obtiens $(1 + t)^{\frac{1}{t}}$ avec $t \to 0$. Cette forme te rappelle-t-elle une limite classique du cours sur le nombre $e$ ?

2 الإرشاد 2

Pour la limite en $+\infty$, écris $h(x) = e^{\frac{\ln(x)}{x-1}}$ et étudie séparément la limite de l'exposant $\dfrac{\ln(x)}{x-1}$. Pense aux croissances comparées entre $\ln(x)$ et $x$ quand $x \to +\infty$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

Pour la limite quand $x \to 1$ , après le changement de variable $t = x - 1$ , tu obtiens $(1 + t)^{\frac{1}{t}}$ avec $t \to 0$ . Cette forme te rappelle-t-elle une limite classique du cours sur le nombre $e$ ?

Pour la limite en $+ \infty$ , écris $h (x) = e^{\frac{l n ( x )}{x - 1}}$ et étudie séparément la limite de l'exposant $\frac{ln ( x )}{x - 1}$ . Pense aux croissances comparées entre $ln (x)$ et $x$ quand $x \to + \infty$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

نهاية في +∞ والمقارنة كل تمارين الدرس الاتصال ومبرهنة القيم الوسيطية – وجود جذر

شكل غير محدد 1^∞ ونهاية اعتيادية

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

شكل غير محدد 1^∞ ونهاية اعتيادية

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯