Soit la fonction g définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : g ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 1 x 2 + ln ( x ) Déterminer le domaine de définition de g . Calculer x → + ∞ lim g ( x ) en justifiant soigneusement chaque étape. Calculer x → 0 + lim g ( x ) . On discutera le signe de la limite.

Limite en +∞ et croissances comparées

Facile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Soit la fonction g définie sur $] 0; + \infty [$ par :

$g (x) = \frac{x ^{2} + ln ( x )}{2 x ^{2} - 3 x + 1}$

Déterminer le domaine de définition de g.
Calculer $x \to + \infty lim g (x)$ en justifiant soigneusement chaque étape.
Calculer $x \to 0^{+} lim g (x)$ . On discutera le signe de la limite.

Indices

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1 Indice 1

Pour le domaine, commence par factoriser le dénominateur $2x^2 - 3x + 1$ en cherchant ses racines. Pense à la forme $(2x - 1)(x - 1)$ et vérifie quelles valeurs annulent cette expression.

2 Indice 2

Pour la limite en $+\infty$, factorise par $x^2$ au numérateur et au dénominateur. Rappelle-toi que $\ln(x)$ croît beaucoup plus lentement que $x^2$ : que devient $\dfrac{\ln(x)}{x^2}$ quand $x \to +\infty$ ?

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Pour le domaine, commence par factoriser le dénominateur $2 x^{2} - 3 x + 1$ en cherchant ses racines. Pense à la forme $(2 x - 1) (x - 1)$ et vérifie quelles valeurs annulent cette expression.

Pour la limite en $+ \infty$ , factorise par $x^{2}$ au numérateur et au dénominateur. Rappelle-toi que $ln (x)$ croît beaucoup plus lentement que $x^{2}$ : que devient $\frac{ln ( x )}{x ^{2}}$ quand $x \to + \infty$ ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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