Forme indéterminée 1^∞ et limite remarquable

On considère la fonction h définie sur $]0;+\infty [\setminus \{1\}$ par :

$h(x)=x^{\frac{1}{x-1}}$

On pose $x=1+t$, de sorte que $x\to 1$ équivaut à $t\to 0$.

1. Montrer que $h(x)=(1+t{)}^{\frac{1}{t}}$ après le changement de variable $t=x-1$.
2. En déduire $\underset{x\to 1}{\lim }h(x)$, en précisant la limite de référence utilisée.
3. La fonction h est-elle prolongeable par continuité en $1$ ? Définir, si possible, ce prolongement.
4. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)$. (On pourra écrire $h(x)=e^{\frac{\ln (x)}{x-1}}$ et étudier l'exposant.)