Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — existence de racine

Exercice 2 — TVI et existence de solution

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par :

$f(x)=x^3-3x+1$

1. Vérifier que $f$ est continue sur $[0;2]$.
2. Calculer $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$.
3. Montrer qu'il existe au moins un réel $c\in ]0;1[$ tel que $f(c)=0$, et au moins un réel $d\in ]1;2[$ tel que $f(d)=0$. On admettra qu'il existe aussi une racine dans $]-2;-1[$.
4. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet au moins deux solutions dans $[0;2]$. Peut-on affirmer qu'il y en a exactement deux ? Justifier brièvement.