Limites avec formes indéterminées et croissances comparées

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 3 — Formes indéterminées et croissances comparées

Pour chacune des limites suivantes, identifier la forme indéterminée éventuelle, puis calculer la limite en justifiant chaque étape.

$x \to + \infty lim \frac{x ^{2} - e ^{x}}{x ^{2} + 1}$
$x \to 0^{+} lim x ln (x)$
$x \to + \infty lim ln (x^{2} + x) - ln (x)$
$x \to 0 lim \frac{e ^{2 x} - 1}{sin ( 3 x )}$

Pour la question $4$ , on précisera la limite de référence utilisée.

Indices

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1 Indice 1

Pour chaque limite, commence par identifier la forme indéterminée en remplaçant $x$ par sa valeur limite. Ensuite, pense aux techniques adaptées : factorisation par le terme dominant pour $\dfrac{\infty}{\infty}$, propriétés du logarithme pour simplifier, ou croissances comparées.

2 Indice 2

Pour la question 4, transforme l'expression en faisant apparaître $\dfrac{e^{2x}-1}{2x}$ et $\dfrac{\sin(3x)}{3x}$. Multiplie et divise astucieusement pour obtenir ces formes, puis utilise les limites de référence quand $u \to 0$.

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Pour chaque limite, commence par identifier la forme indéterminée en remplaçant $x$ par sa valeur limite. Ensuite, pense aux techniques adaptées : factorisation par le terme dominant pour $\frac{\infty}{\infty}$ , propriétés du logarithme pour simplifier, ou croissances comparées.

Pour la question 4, transforme l'expression en faisant apparaître $\frac{e ^{2 x} - 1}{2 x}$ et $\frac{sin ( 3 x )}{3 x}$ . Multiplie et divise astucieusement pour obtenir ces formes, puis utilise les limites de référence quand $u \to 0$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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