Forme indéterminée ∞ − ∞ et croissances comparées

Exercice 3 — Formes indéterminées et croissances comparées

On considère les limites suivantes :

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x^2-e^x)$. Préciser la forme indéterminée éventuelle et justifier à l'aide des croissances comparées.
2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }[\ln (x^2+1)-\ln (x)]$. On pourra factoriser.
3. Soit f définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=x\times \ln (x)$. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. Préciser la forme indéterminée et la méthode utilisée.
4. Peut-on prolonger f par continuité en 0 ? Justifier et, si oui, définir le prolongement g.