Étude d'une fonction avec paramètre et continuité

Exercice 4 — Continuité et paramètre

On considère la fonction $f_a$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

• $f_a(x)=\frac{\sin (3x)}{x}$ si $x\ne 0$
• $f_a(0)=a$

où $a$ est un paramètre réel.

1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (3x)}{x}$. On utilisera la limite de référence $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$.
2. Déterminer la valeur de $a$ pour laquelle $f_a$ est continue en $0$. On notera cette valeur $a_0$.
3. Pour $a=a_0$, montrer que $f_{a_0}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
4. Pour $a=a_0$, étudier le signe de $f_{a_0}(x)-f_{a_0}\left(-\frac{\pi }{3}\right)$ et en déduire, à l'aide du TVI, que l'équation $f_{a_0}(x)=0$ admet au moins une solution dans $\left]0;\frac{\pi }{3}\right[$.