Exercice 4 On considère la fonction f a définie sur R par : f a ( x ) = a ⋅ e x + ( 1 − a ) ⋅ x − 1 , où a ∈ R est un paramètre réel. Montrer que pour tout réel a , f a est continue sur R . Calculer f a ( 0 ) . Pour quelle(s) valeur(s) de a a-t-on f a ( 0 ) = 0 ? On pose a = 1 . Montrer que l'équation f 1 ( x ) = 0 admet une unique solution dans R . (On admettra que f 1 ′ ( x ) = e x .) On pose a = − 1 . Étudier les variations de f − 1 (on admettra que f − 1 ′ ( x ) = − e x − 2 ). Montrer que l'équation f − 1 ( x ) = 0 admet exactement deux solutions réelles. Encadrer chacune à 1 0 − 1 près.

Étude d'une fonction avec paramètre, continuité et TVI appliqué

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 4

On considère la fonction $f_{a}$ définie sur $R$ par :

$f_{a} (x) = a \cdot e^{x} + (1 - a) \cdot x - 1$ , où $a \in R$ est un paramètre réel.

Montrer que pour tout réel $a$ , $f_{a}$ est continue sur $R$ .
Calculer $f_{a} (0)$ . Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ a-t-on $f_{a} (0) = 0$ ?
On pose $a = 1$ . Montrer que l'équation $f_{1} (x) = 0$ admet une unique solution dans $R$ . (On admettra que $f_{1}^{'} (x) = e^{x}$ .)
On pose $a = - 1$ . Étudier les variations de $f_{- 1}$ (on admettra que $f_{- 1}^{'} (x) = - e^{x} - 2$ ). Montrer que l'équation $f_{- 1} (x) = 0$ admet exactement deux solutions réelles. Encadrer chacune à $1 0^{- 1}$ près.

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